新讲解别离艰深而强劲的“模神色”

使用“令东说念主焕然一新的陈腐”器具，数学家们贬责了50年前对于怎样对模神色（一类迫切函数）进行分类的猜思，这对数论和表面物理产生了影响。

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这个模神色的图形使用了热情和高度描述了其复数值。

在一个新的讲解中，一个耐久被疏远的数学对象终于成为东说念主们眷注的焦点。

乍一看，模神色——几个世纪以来，其丰富的对称性眩惑了数学家的函数——似乎还是引起了有余的眷注。它们出目下各式万般的问题中：它们是安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）1994年讲解费马大定理的重要因素，该定贯通决了数论中最大的悬而未决的问题之一。它们在朗兰兹纲要中阐扬着中枢作用，这是一个握住发展“大和解数学表面”的捏续致力于。它们以至被用来盘考弦表面和量子物理学中的模子。

但是在这些高低文中出现的模神色属于特殊类型。所谓的congruence“同余”模神色领有额外的结构，使它们更容易盘考。但是更一般的“非同余”模神色远远越过它们的友好的同余模神色。“若是你立地取一个模神色，那它是同余模神色的概率为1，”加拿大麦克马斯特大学的数学家Cameron Franc说。“除非你有充分的原理遭受同余模神色，不然你不要指望。它们特殊荒漠。

但是，数学家对非同余模神色知之甚少，尽管它们无处不在。“它们统统是艰深的，”剑桥大学数学家安东尼·肖尔（Anthony Scholl）说。不仅对这样一个一般的函数类作念出包罗万象的敷陈很难，况且为盘考在非同余情况下理会模神色而修复的器具也很难。这让数学家们不笃定他们应该试图讲解什么。

但是，对于非同余模神色的一个主要猜思耐久以来一直很杰出：就像沙漠中一个寂然的、不壮健的路标。

1968年，数学家Oliver Atkin和Peter Swinnerton-Dyer（BSD猜思提倡者之一，zzllrr小乐译注）精采到非同余模神色似乎有一个独特显著的性质，将它们与同余模神色别离开来。应该有这样一种公然的容貌别离两者“简直特殊令东说念主讶异，”加州大学圣克鲁斯分校的数学家Geoffrey Mason说。同余和非同余模神色特殊不同，因为非同余模神色缺少同余模神色所具有的对称性。但这些相反固然迫切，但可能很奥密，难以察觉。

倏得之间，这些相反的显著根据不言而喻。

Atkin和Swinnerton-Dyer的不雅察其后被称为“无界分母”（unbounded denominators）猜思。若是这是简直，它将允许数学家在大部分未修复的非同余对象范畴站稳脚跟。通过提供一种简单的要津来识别给定的模神色属于哪个类，该猜思还不错将表面物理学中的一个主要名目 - 旨在贯通称为共形场论的粒子相互作用模子 - 置于更坚实的数学基础上。

但50多年来，莫得东说念主能讲解这少量。最终，在 2021 年底，三位数学家告捷了。他们的讲解似乎诬捏而来，采纳了莫得东说念主盼愿在这个盘考范畴看到的时候。数学家和物理学家目下运转探索这项责任的成果。

对称性和结构

非同余模神色并不老是被左迁到边际。

在19世纪，数学家刚刚运转发展模神色的表面。这是给一种特殊类型的高度对称函数的称号 - 它存在于复平面的上半平面中。

复平面是一种画图复数的要津，复数分为两部分：实数和虚数。模神色输入值是虚部为正数（对应于平面的上半部分）的复数。（上半平面不错很容易地映射到单元圆盘的里面；模神色时时使用此映射进行描述。）

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同余模神色（左）具有非同余模神色（右）所缺少的附加结构。

模神色的好多对称性是根据 2×2 矩阵（四个数字的方形数组）的特殊集合或“群”界说的。在模神色中，这四个数字弥远是整数。至关迫切的是，与笃定其某些属性的矩阵联系的数字（称为行列式determinant）必须为 1。

有无穷多的这样的矩阵集。在某些群中，矩阵不错用相对简单的王法来描述。举例，在扫数矩阵中，右上角和左下角的元素可能是偶数，而其他两个元素是奇数。或者，右上角和左下角的元素不错被 11 整除，而其他两个元素皆比11的倍数多 1。

不错用这些关系界说的群——以及与这些群联系的模神色——是被粗俗盘考的同余群。

但它们就像大海捞针：大多数 2×2 矩阵的集合不不错这种容貌用很好的王法来表征，这使得它们过头联系的模神色不一致。

直到 1930 年代后期——约莫在第二次全国大战运转时——同余模神色的盘考才运转超越非同余模神色的盘考。就在其时，德国数学家埃里希·赫克（Erich Hecke）修复了一个器具箱，使他冒失笃定模神色的好多属性，并将它们与其他迫切的数学对象联系联。

Hecke的要津只适用于同余群过头模神色。非同余群缺少使Hecke器具箱灵验的额外结构。“当你出动到非同余全国中时，你在同余全国中领有的这个东西就会隐匿，”Franc说。

因此，非同余模神色似乎注定要永远被疏远。这并不是说它们莫得任何我方的特殊结构，暗藏在名义之下。正如Swinnerton-Dyer的配合者Bryan Birch（BSD猜思另一共同提倡者，zzllrr小乐译注）也曾写说念的那样，“固然结构更艰深，但似乎险些相通丰富。”但是当触及到拜谒这种结构时，数学家们却不知所措。他们以至不知说念从那儿运转。

这时Atkin和Swinnerton-Dyer登场了。

整洁的法度

这两位数学家思知说念更多对于非同余模神色，以及他们可能荫藏的任何高明。

“这老是数学越过的容貌，”宾夕法尼亚州立大学的数学家李文卿（Winnie Li）说。“你盘考具有特殊特殊属性和更多结构的东西。然后你去轮廓它，试图了解哪些属性会无间，哪些不会。

为了盘考给定的模神色，数学家时时将其暴露为称为q伸开式（q-expansion，一种特殊类型的幂级数）的无穷和，然后分析该伸开的统统。人所共知，若是给定的模神色是同余的，那么统统的分母永远不会大于某个固定值。

在1960年代，Atkin和Swinnerton-Dyer联想了q伸开式的分数和模神色的分数。当他们这样作念时，他们精采到，若是模神色是不同余的，那么其联统统列中的分母就会无已毕地增长。“他们本色上不错对这些艰深的非同余神色说些什么，”加州大学伯克利分校的数学家唐云清（首位获拉马努金奖的华东说念主女数学家，2022年）说。

2021年元旦，高级盘考院的数学家 Vesselin Dimitrov 给两位共事发了一封电子邮件，陈诉了“一个如意算盘的思法”：他思专揽他们一直在盘考的时候来贬责一个统统不联系的问题，即无界分母猜思。

别离这两种类型的模神色简直这样容易吗？

数学家们在1968年加利福尼亚的一次会议上提到了他们的不雅察成果，标明无界分母可能口角同余模神色的盛大秀雅。这个猜思“特殊惊东说念主”，达特茅斯学院的数学家约翰·沃伊特（John Voight）说。“它给了咱们一个整洁的法度来决定一个模神色是否属于同余群”——对于数论者来说，这是一个特殊便捷的试金石，在其他情况下可能很难检测到。

“这险些好得令东说念主难以置信，”他补充说。“东说念主们简直不指望出现这样的遗迹。”

事实上，莫得东说念主能讲解无界分母的猜思。李文卿和其他少数东说念主冒失讲解对于非同余模神色的特定族是正确的，但数学家不知说念怎样处理一般情况。

奇偶形态判断：前面10期奖号中，包含全偶形态1期，两偶一奇形态2期，两奇一偶形态3期，全奇形态4期。

然后在 2021年9月，唐与芝加哥大学的Frank Calegari和高级盘考所的Vesselin Dimitrov整个发布了一份50页的讲解。“这太神奇了，简直很出乎预思，”Frank说。“嗅觉（数学）社区对怎样处理这个问题莫得任何思法。”

作家但愿他们的论文是将沙漠中的路标发展成进修说念路收罗的第一步。“咱们通过为最简单的问题提供谜底，青海app开发为数论的这一部分作念出了浮浅的孝顺，”Dimitrov说。

回到老路

Calegari、Dimitrov和唐并莫得入部属手贬责无界分母猜思。在2019年底，他们但愿讲解某个数字（黎曼zeta函数的肖似值）是古怪的——就像2的平淡根相通，它不可写因素数。（他们的最终办法是讲解这个数字和其他肖似的数字是超越的，这意味着，与数字π和e相通，它们不可写为具有整数统统的多项式方程的解。）

从名义上看，这个问题是统统无关的。但在2021年元旦，Dimitrov在新的一年里给其他东说念主发了一封电子邮件，他在电子邮件中描述了 “如意算盘的思法”：也许他们在往时一年中修复的时候不错再行用于讲解无界分母猜思。

他们试了一下。在七个月内，他们得到了讲解。

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在讲解了无界分母猜思之后，加州大学伯克利分校的数学家唐云清（Yunqing Tang）链接与她的两位合著者配合，盘考领先引发讲解的问题。“咱们正在致力于完成咱们运转的事情，”她说。

开始，他们琢磨了两个空间：扫数具有有界分母的模神色的空间，以及扫数同余模神色的空间。根据无界分母猜思，这两个空间应该是调换的。由于空间空闲某些属性，数学家只需要讲解它们的大小调换。这样作念将自动示意它们的等价性。

Calegari、Dimitrov 和唐不错相对容易地联想第二个空间的大小，从而得回一种同余模神色的和毛糙计数。但是很阻难到第一个空间的大小算计。他们必须鸠集好多不同的时候——包括来自超越数论的时候。

使用这些要津，他们标明具有有界分母的模神色的空间最多不错达到一定的大小。该最大大小比同余模神色的空间大小略大。尽管如斯，这一步“如实是讲解的中枢，”巴黎萨克雷大学（Paris-Saclay University）的数学家让-贝努瓦·Bost（Jean-Benoît Bost）说。“你需要很大的意志智商作念到这少量。（Calegari、Dimitrov和唐以几种不同的容貌讲解了这种空间大小的界，可能给他们的时候带来更粗俗的专揽。）

“这口角常古典、飘逸的数学，带有19世纪的滋味，”法国巴黎综合理工学院（École Polytechnique）的数学家哈维尔·弗雷桑（Javier Fresán）说。

然后，三东说念主需要放松两个空间之间的差距。这样作念将笃定任何具有有界分母的模神色必须是同余的。

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因此，他们假定了相背的情况：存在具有有界分母的非同余模神色。根据界说，它将生存在Calegari、Dimitrov和唐试图放松的破绽中。然后，这三东说念主标明，这种非同余模神色的存在自动示意了好多其他具有有界分母的非同余模神色的存在。仿佛整片丛林皆是从那颗种子长出来的。

但他们还是笃定了破绽的最大大小 - 它太小了，无法容纳那么多非同余神色。

这意味着即使是一种这样的神色也不可能存在。他们讲解了Atkin和Swinnerton-Dyer几十年前的猜思。

数学家发现责任中使用的时候比成果自身更爱慕爱慕。“这些思法以前从未用于盘考模神色的算术，”Scholl说。

正如Voight所解释的那样，尽管模神色的盘考领先是复分析范畴的一部分，但目下的责任一直是数论和代数几何的鸿沟。他说，这篇新论文秀雅着对复分析的转头：“这是一个令东说念主焕然一新的陈腐不雅点。

寻找新表面

数学家并不是独一双无界分母猜思感到快活的东说念主。它也出目下表面物理学中。

在1970年代，另一个故事与Atkin和Swinnerton-Dyer运转的故事同期伸开。数学家们精采到一个叫作念魔群（Monster Group）的对象和一个叫作念j函数的模神色之间有一种奇怪的谈论。j函数的统统精准地反应了魔群的某些性质。

其后的盘考标明，这种谈论是由于群和模神色皆与称为二维共形场论的迫切粒子相互作用模子谈论。

但是，将魔群与j函数谈论起来的共形场论仅仅无数共形场论的一个例子。固然这些表面莫得描述咱们生存的天地，但贯通它们不错对更实践的量子场论的行径产生新的见识。

因此，物理学家链接通过不雅察它们联系的模神色来盘考共形场论。（在这种情况下，物理学家使用更一般的模神色认识，称为向量值模神色。

为明晰解特定共形场论的情况，你必须讲解它的模神色是同余的，爱尔兰戈尔韦大学的数学家和表面物理学家Michael Tuite说。然后，你不错运转描述共形场论，以至不错发现你不知说念要寻找的新场论。这对于对扫数共形场论进行分类的捏续致力于尤其迫切 - 物理学家称之为模提醒的名目。

“一朝你知说念它是一个同余模神色，它使你冒失在这个名目中取得宏大的越过，”Mason说。

物理学家修复了一个框架，允许他们为正在盘考的模神色假定这种同余性质。但这并不等同于领有严格的数学讲解——固然其他数学家其后冒失提供这样的讲解，但他们的论点只在某些环境中灵验。根据Mason的说法，它还触及通往同余的“一条特殊逶迤、长短不一的说念路”，尽管他也指出，这条长短不一的说念路产生了迫切的见识。

Calegari、Dimitrov和唐对无界分母猜思的讲解冲破了这一切。这是因为，事实讲解，与共形场论联系的模神色老是具有整数统统。根据界说，整数的分母为 1，这意味着它们的分母弥远是有界的。由于无界分母猜思指出有界分母仅与同余模神色联系，因此不再需要作念出假定。“你以至不需要了解[共形场论]，”唐说。新的讲解会自动为扫数这些情况提供同余性 —— 以免费的容貌。

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芝加哥大学的数学家弗兰克·卡莱加里（Frank Calegari）盘考模神色和联统统学对象。

“这是几十年来一直存在的东西，”Bost说。目下终于贬责了。

“这简直是一个遗迹，”Mason说。“这仅仅遗迹般地从这些数列是整数的事实中得出的。”

他还是运转将成果专揽到我方的责任中。“从那篇论文出现的那天起，我就一直在使用它，”他说。“它为我思要贬责的成果提供了一个特殊受迎接的捷径。它削减了盛大我无法看到的潜在责任。”

它还将模提醒名目和其他成果置于更强劲的数学基础上。“这将使数学家冒失再行讲解[以前的]成果，或者敬佩它们，”Mason说。

“我以为这简直会产生影响，独特是在数学方面，仅仅简直，简直把事情谈论起来，的确地了解正在发生的事情，”Tuite说。

数学超越性

在他们发布证光泽的一年里，Calegari、Dimitrov和唐链接他们的配合。他们目下又回到了超越数论中领先引发他们对猜思兴味的问题类型。“咱们正在致力于完成咱们运转的事情，”唐说。事实上，他们还是用他们的时候来讲解几个感兴味的数字是古怪数。

“他们简直把[要津]推向了极限，”Fresán 说。“我对此感到特殊快活。”

这些要津也可能适用于数论中的其他问题。

撇开时候不谈，无界分母猜思的贬责秀雅着更好地贯通非同余模神色的第一个迫切里程碑之一。“这是一个了不得的树立，咱们不错通过这种容貌在不同余神色上取得一些进展，”Franc说。“我对改日10年，20年感到快活，望望会发生什么。”

李文卿，Voight和其他东说念主还是运转寻找出目下这些艰深模神色分母中的数字花式。他们但愿通过这样作念，不错找到更深脉络结构的示意。

“这个无界分母的猜思仅仅一个运转，”李文卿说。

作家：Jordana Cepelewicz 2023-3-9APP开发公司